1)Дана функция спроса Qd=80-10P. Определить, при какой цене эластичность равна -1. 2) Функция полезности...

1) Эластичность спроса определяется по формуле E=(dQd/dP)(P/Qd), где dQd/dP - производная функции спроса по цене, P - цена, Qd - количество спроса. В данном случае, функция спроса Qd=80-10P. Производная от нее по цене равна dQd/dP=-10. Подставим значение производной и условие E=-1 в формулу: -1=(-10)P/(80-10P) P=8 Таким образом, при цене 8 эластичность спроса будет равна -1.

2) Для нахождения наилучшего набора благ x и y в функции полезности TU=(100x-x^2)*(200y-y^2) необходимо найти максимум этой функции. Для этого нужно найти частные производные по x и y и приравнять их к нулю: dTU/dx = 100 - 2x = 0 2x = 100 x = 50

dTU/dy = 200 - 2y = 0 2y = 200 y = 100

Таким образом, наилучший набор благ x и y будет равен x=50, y=100.

1) Определение цены, при которой эластичность спроса равна -1

Функция спроса дана как ( Qd = 80 - 10P ).

Эластичность спроса по цене ((E_p)) определяется как:

[ E_p = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} ]

Нам нужно найти производную функции спроса по цене (( \frac{dQ}{dP} )):

[ \frac{dQ}{dP} = -10 ]

Теперь, подставим это в формулу эластичности спроса:

[ E_p = -10 \cdot \frac{P}{Q} ]

Для эластичности, равной -1:

[ -10 \cdot \frac{P}{Q} = -1 ]

Упростим уравнение:

[ 10 \cdot \frac{P}{Q} = 1 ]

[ \frac{P}{Q} = \frac{1}{10} ]

Так как ( Q = 80 - 10P ):

[ \frac{P}{80 - 10P} = \frac{1}{10} ]

Решим это уравнение относительно ( P ):

[ 10P = 80 - 10P ]

[ 20P = 80 ]

[ P = 4 ]

Таким образом, цена, при которой эластичность спроса равна -1, составляет 4 единицы.

2) Нахождение наилучшего набора благ (x) и (y)

Функция полезности дана как:

[ TU = (100x - x^2)(200y - y^2) ]

Для нахождения наилучшего набора благ воспользуемся методом Лагранжа. В данном случае мы будем искать максимум функции полезности ( TU ).

Для нахождения экстремума функции ( TU ), найдем частные производные по ( x ) и ( y ) и приравняем их к нулю.

1. Найдём частную производную функции полезности по ( x ):

[ \frac{\partial TU}{\partial x} = (100 - 2x)(200y - y^2) ]

1. Найдём частную производную функции полезности по ( y ):

[ \frac{\partial TU}{\partial y} = (100x - x^2)(200 - 2y) ]

Для нахождения наилучшего набора приравняем частные производные к нулю:

[ (100 - 2x)(200y - y^2) = 0 ]

[ (100x - x^2)(200 - 2y) = 0 ]

Таким образом, у нас есть две системы уравнений:

1. ( 100 - 2x = 0 ) или ( 200y - y^2 = 0 )
2. ( 100x - x^2 = 0 ) или ( 200 - 2y = 0 )

Рассмотрим первую систему:

1. ( 100 - 2x = 0 )

[ x = 50 ]

1. ( 200y - y^2 = 0 )

[ y(200 - y) = 0 ]

[ y = 0 ] или ( y = 200 )

Рассмотрим вторую систему:

1. ( 100x - x^2 = 0 )

[ x(100 - x) = 0 ]

[ x = 0 ] или ( x = 100 )

1. ( 200 - 2y = 0 )

[ y = 100 ]

Теперь проверим, какой из наборов дает максимальную полезность:

1. ( x = 50 ), ( y = 0 )

[ TU = (100 \cdot 50 - 50^2)(200 \cdot 0 - 0^2) = 0 ]

1. ( x = 50 ), ( y = 200 )

[ TU = (100 \cdot 50 - 50^2)(200 \cdot 200 - 200^2) = 0 ]

1. ( x = 0 ), ( y = 100 )

[ TU = (100 \cdot 0 - 0^2)(200 \cdot 100 - 100^2) = 0 ]

1. ( x = 100 ), ( y = 100 )

[ TU = (100 \cdot 100 - 100^2)(200 \cdot 100 - 100^2) = (10000 - 10000)(20000 - 10000) = 0 ]

Таким образом, ни один из наборов не дает положительной полезности. Это может указывать на то, что функция полезности имеет максимум на границе допустимого диапазона значений. В реальной ситуации это может потребовать дополнительного анализа или изменения условий задачи.