Компании необходимо накопить 80 млн руб., чтобы через 2,5 года произвести модернизацию технологических...

Для определения первоначального вклада, необходимого для накопления 80 миллионов рублей через 2,5 года при годовой ставке 7% с полугодовыми процентами, мы можем использовать формулу сложных процентов.

В данной ситуации, поскольку проценты начисляются полугодично, нам нужно учесть, что ставка будет делиться на два (для двух полугодий в год), а количество периодов будет удваиваться.

1. Определим параметры:

   • Будущая сумма (FV) = 80,000,000 руб.
   • Годовая ставка (r) = 7% = 0.07
   • Полугодовая ставка (r/2) = 0.07 / 2 = 0.035
   • Количество лет (t) = 2.5 года
   • Количество полугодий (n) = 2.5 * 2 = 5

2. Формула сложных процентов: [ FV = PV \times (1 + r/n)^{nt} ] где:

   • FV — будущая сумма (80,000,000 руб.)
   • PV — первоначальный вклад
   • r — годовая ставка (0.07)
   • n — количество начислений в год (2)
   • t — количество лет (2.5)

3. Подставляем известные значения: [ 80,000,000 = PV \times (1 + 0.035)^{5} ]

4. Вычислим (1 + 0.035)^5: [ (1 + 0.035)^5 \approx 1.1887 ]

5. Теперь подставим это значение в уравнение: [ 80,000,000 = PV \times 1.1887 ]

6. Решим уравнение для PV: [ PV = \frac{80,000,000}{1.1887} \approx 67,172,387.78 ]

Таким образом, первоначальный вклад, необходимый для накопления 80 миллионов рублей через 2,5 года при указанной ставке и условиях, составляет примерно 67,17 миллионов рублей.

Для решения этой задачи необходимо рассчитать первоначальную сумму, которую компания должна вложить, чтобы накопить 80 млн рублей через 2,5 года при заданных условиях. Это задача на расчет будущей стоимости (FV) и определение текущей стоимости (PV) с учетом сложного процента.

Дано:

1. Необходимая сумма через 2,5 года (будущая стоимость, FV): 80 млн рублей.
2. Годовая процентная ставка: 7% годовых.
3. Начисление процентов: каждые полгода (полугодовое начисление).
4. Срок: 2,5 года (5 полугодий, так как 2,5 × 2 = 5).

Формула сложного процента:

[ FV = PV \cdot (1 + i)^n ]

Где:

• ( FV ) — будущая стоимость (80 млн рублей),
• ( PV ) — текущая (первоначальная) стоимость (то, что мы ищем),
• ( i ) — процентная ставка за один период (полугодовая ставка),
• ( n ) — общее количество периодов.

Шаг 1. Рассчитаем полугодовую ставку:

Годовая ставка равна 7%, а проценты начисляются каждые полгода. Чтобы найти ставку за один полугодовой период, делим годовую ставку на 2: [ i = \frac{7\%}{2} = 3,5\% = 0,035 ]

Шаг 2. Определим количество периодов:

Поскольку начисление происходит каждые полгода, а срок составляет 2,5 года, количество периодов ( n ) равно: [ n = 2,5 \cdot 2 = 5 ]

Шаг 3. Преобразуем формулу для нахождения PV:

Изначальная формула: [ FV = PV \cdot (1 + i)^n ] Выразим ( PV ): [ PV = \frac{FV}{(1 + i)^n} ]

Подставим известные значения:

• ( FV = 80 \, \text{млн руб.} ),
• ( i = 0,035 ),
• ( n = 5 ).

Шаг 4. Рассчитаем ( PV ):

Подставим значения в формулу: [ PV = \frac{80}{(1 + 0,035)^5} ]

Сначала посчитаем ( (1 + 0,035)^5 ): [ (1 + 0,035)^5 = 1,035^5 \approx 1,1877 ]

Теперь найдем ( PV ): [ PV = \frac{80}{1,1877} \approx 67,36 \, \text{млн руб.} ]

Ответ:

Для того чтобы через 2,5 года накопить 80 млн рублей, компании необходимо вложить 67,36 млн рублей в безрисковые государственные ценные бумаги под 7% годовых с полугодовыми начислениями процентов.

Пояснение:

Эта сумма учитывает сложный процент, который начисляется каждые полгода. За счет реинвестирования процентов первоначальная сумма увеличивается, и к концу срока она достигает необходимого значения в 80 млн рублей. Такой подход позволяет минимизировать риски за счет использования государственных ценных бумаг.