Монополия на рынке имеет следующую функцию предельных издержек: MC = -10+3Q. Предельный доход выражен функцией: MR = 40-2Q. а) Определите оптимальный объём выпуска. б) Напишите уравнение общей выручки монополиста. в) Напишите уравнение функции спроса на продукцию монополиста. г) Какую цену назначит монополия за свой продукт на рынке?
Для решения задачи по определению оптимального объема выпуска и связанных с ним экономических показателей монополии, рассмотрим следующие шаги:
а) Определение оптимального объема выпуска:
Оптимальный объем выпуска для монополии определяется из условия равенства предельного дохода (MR) и предельных издержек (MC):
[ MR = MC ]
Подставим данные функции:
[ 40 - 2Q = -10 + 3Q ]
Решим это уравнение для ( Q ):
[ 40 + 10 = 3Q + 2Q ]
[ 50 = 5Q ]
[ Q = 10 ]
Таким образом, оптимальный объем выпуска составляет ( Q = 10 ) единиц.
б) Написание уравнения общей выручки монополиста:
Общая выручка (TR) определяется как произведение цены (P) на количество продукции (Q):
[ TR = P \cdot Q ]
Чтобы найти уравнение общей выручки, нам нужно выразить цену через количество. Для этого используем предельный доход (MR):
[ MR = \frac{d(TR)}{dQ} ]
[ 40 - 2Q = \frac{d(TR)}{dQ} ]
Интегрируем MR по ( Q ), чтобы получить TR:
[ TR = \int (40 - 2Q) \, dQ ]
[ TR = 40Q - Q^2 + C ]
Заметим, что постоянная интегрирования ( C ) равна нулю, так как при ( Q = 0 ), ( TR = 0 ).
Таким образом, уравнение общей выручки монополиста:
[ TR = 40Q - Q^2 ]
в) Написание уравнения функции спроса на продукцию монополиста:
Предельный доход для линейного спроса можно выразить как:
[ MR = P + Q \frac{dP}{dQ} ]
Из функции предельного дохода:
[ MR = 40 - 2Q ]
Сравнивая это уравнение с уравнением MR для линейного спроса, получаем:
[ 40 - 2Q = P + Q \frac{dP}{dQ} ]
Из уравнения TR:
[ TR = P \cdot Q = 40Q - Q^2 ]
Выразим цену ( P ) через количество ( Q ):
[ P = \frac{TR}{Q} = \frac{40Q - Q^2}{Q} ]
[ P = 40 - Q ]
Таким образом, уравнение функции спроса на продукцию монополиста:
[ P = 40 - Q ]
г) Определение цены, которую назначит монополия за свой продукт:
Используем найденное уравнение спроса и подставим оптимальный объем выпуска ( Q = 10 ):
[ P = 40 - 10 ]
[ P = 30 ]
Таким образом, монополия назначит цену ( P = 30 ) за свой продукт на рынке.
а) Оптимальный объём выпуска определяется условием максимизации прибыли, которое равно равенству предельного дохода и предельных издержек: MR = MC. Подставим данные функции и найдем оптимальный объем выпуска: 40-2Q = -10+3Q 40 + 10 = 2Q + 3Q 50 = 5Q Q = 10
б) Общая выручка монополиста равна произведению цены на количество продукции: TR = P*Q. Так как оптимальный объем выпуска равен 10, подставим это значение в уравнение функции предельного дохода и найдем цену, по которой монополия будет продавать свой продукт.
в) Уравнение функции спроса на продукцию монополиста можно записать как P = 40 - Q/2.
г) Цену монополия назначит за свой продукт на рынке можно найти, подставив оптимальный объем выпуска в уравнение функции спроса: P = 40 - 10/2 = 35.
Таким образом, монополия назначит цену 35 за свой продукт на рынке.
