Общие издержки фирмы составляют: TC = q3-4q2+ 10q + 18. Определите, при каких условиях (Р, q) фирма:...

а) Фирма прекратит производство, когда издержки превысят выручку. Для этого нужно найти выражение для выручки, которое определяется как Pq, где P - цена продукции, а q - количество произведенных товаров. Поскольку нам дано только уравнение для общих издержек, нам нужно дополнительно знать цену продукции. Предположим, что цена продукции равна P=5. Тогда уравнение для общих издержек примет вид: TC = q3-4q2+ 10q + 18, а уравнение для выручки - R = Pq = 5q.

Теперь мы можем найти точку, в которой издержки равны выручке, чтобы определить, когда фирма прекратит производство. Для этого решим уравнение TC = R: q3-4q2+ 10q + 18 = 5q. Получим уравнение q3-4q2+ 5q + 18 = 0. Решив это уравнение, мы найдем значения q, при которых фирма прекратит производство.

б) Фирма будет находиться в равновесии в долгосрочном периоде, когда ее издержки будут минимальными. Для этого необходимо найти точку минимума общих издержек. Общие издержки фирмы можно представить в виде функции TC(q) = q3-4q2+ 10q + 18. Чтобы найти точку минимума, нужно найти производную от функции TC(q) и приравнять ее к нулю: TC'(q) = 3q2 - 8q + 10 = 0. Решив это уравнение, мы найдем количество продукции q, при котором издержки фирмы будут минимальными.

Для решения данной задачи необходимо анализировать функцию общих издержек фирмы (TC = q^3 - 4q^2 + 10q + 18), где (TC) - это общие издержки, а (q) - количество произведенной продукции.

а) Прекращение производства

Фирма прекратит производство, если цена продукции (P) не покрывает средние переменные издержки (AVC) в краткосрочном периоде. Для этого нам нужно определить функции средних переменных издержек (AVC), средних общих издержек (ATC) и предельных издержек (MC).

1. Переменные издержки (VC):

Переменные издержки включают все издержки, которые изменяются с уровнем производства, то есть без учета постоянных издержек. В данном случае постоянные издержки равны 18 (это значение, не зависящее от (q)).

[ VC = q^3 - 4q^2 + 10q ]

1. Средние переменные издержки (AVC):

[ AVC = \frac{VC}{q} = \frac{q^3 - 4q^2 + 10q}{q} = q^2 - 4q + 10 ]

1. Предельные издержки (MC):

Предельные издержки - это производная функции общих издержек (TC) по (q):

[ MC = \frac{d(TC)}{dq} = 3q^2 - 8q + 10 ]

Фирма прекратит производство, если цена продукции (P) меньше средних переменных издержек (AVC):

[ P < AVC ] [ P < q^2 - 4q + 10 ]

б) Равновесие в долгосрочном периоде

В долгосрочном периоде фирма будет находиться в равновесии, когда цена продукции (P) равна средним общим издержкам (ATC) и предельным издержкам (MC).

1. Средние общие издержки (ATC):

[ ATC = \frac{TC}{q} = \frac{q^3 - 4q^2 + 10q + 18}{q} = q^2 - 4q + 10 + \frac{18}{q} ]

Для долгосрочного равновесия:

[ P = ATC ] [ P = MC ]

Решим уравнение (MC = ATC):

[ 3q^2 - 8q + 10 = q^2 - 4q + 10 + \frac{18}{q} ]

Упростим уравнение:

[ 3q^2 - 8q + 10 = q^2 - 4q + 10 + \frac{18}{q} ] [ 2q^2 - 4q = \frac{18}{q} ] [ 2q^3 - 4q^2 = 18 ] [ q^3 - 2q^2 = 9 ]

Решим это кубическое уравнение для (q). Это можно сделать численно или аналитически, если возможны простые корни. Проверим (q = 3):

[ (3^3) - 2(3^2) = 27 - 18 = 9 ]

Таким образом, (q = 3) является корнем уравнения.

Теперь найдем (P):

[ MC = 3(3)^2 - 8(3) + 10 = 27 - 24 + 10 = 13 ]

То есть, в равновесии в долгосрочном периоде:

[ P = 13 ] [ q = 3 ]

Таким образом, фирма прекратит производство, если цена будет ниже (q^2 - 4q + 10), а будет находиться в равновесии в долгосрочном периоде при цене (P = 13) и количестве продукции (q = 3).

а) Фирма прекратит производство, когда общие издержки превысят выручку, то есть когда TC > TR. б) Фирма будет находиться в равновесии в долгосрочном периоде, когда максимизируется прибыль, то есть когда MR = MC.