Потребитель расходует в неделю 40 р. на покупку яблок и бананов. Предельная полезность яблок равна 10 - 2x, где x - количество яблок, шт., цена одного яблока - 2 р. Предельная полезность бананов равна 20 - 2y, где y - количество бананов, шт., цена одного банана - 4 р. Какое количество яблок и бананов следует приобрести потребителю для получения максимальной общей полезности?
Для решения данной задачи нужно использовать принцип равенства предельной полезности к цене для каждого товара. То есть, потребитель должен покупать яблоки и бананы до тех пор, пока отношение предельной полезности к цене каждого товара не станет равным между собой. Это условие максимизации полезности при заданном бюджете.
Запишем функции предельной полезности:
Цены товаров:
Составим уравнение равновесия предельных полезностей, деленных на цены: [ \frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y} ] Подставим значения: [ \frac{10 - 2x}{2} = \frac{20 - 2y}{4} ] Упростим и найдем связь между x и y: [ 5 - x = 5 - y \Rightarrow x = y ]
Теперь используем бюджетное ограничение: [ 2x + 4y = 40 ] Заменяем y на x: [ 2x + 4x = 40 \Rightarrow 6x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{6} \approx 6.67 ] y = x = 6.67
Но так как мы не можем купить дробное количество фруктов, округлим значения до ближайших целых чисел. Проверим бюджетные ограничения для разных комбинаций вблизи x = y = 6.67.
Если x = 6 и y = 6: [ 26 + 46 = 12 + 24 = 36 < 40 ]
Если x = 7 и y = 6: [ 27 + 46 = 14 + 24 = 38 < 40 ]
Если x = 7 и y = 7: [ 27 + 47 = 14 + 28 = 42 > 40 ]
Исходя из расчетов, оптимальный выбор при заданном бюджете и ценах: купить 7 яблок и 6 бананов на сумму 38 рублей. Это обеспечит максимальное приближение к условию равенства предельных полезностей с учетом бюджетных ограничений.
Для нахождения оптимального количества яблок и бананов для максимизации общей полезности потребителя, необходимо учитывать предельную полезность каждого товара и их цены.
Предельная полезность яблок равна 10 - 2x, где x - количество яблок. Предельная полезность бананов равна 20 - 2y, где y - количество бананов.
Цена одного яблока - 2 рубля, цена одного банана - 4 рубля.
Для максимизации общей полезности потребителя, необходимо приравнять предельные полезности к ценам товаров: 10 - 2x = 2 20 - 2y = 4
Отсюда получаем: 2x = 8 2y = 16
Таким образом, оптимальное количество яблок для приобретения составляет 4 шт., а оптимальное количество бананов - 8 шт. При таком сочетании товаров потребитель получит максимальную общую полезность.
