Для решения задачи важно учитывать производственные возможности каждого члена семьи и распределение их времени между двумя видами деятельности: сбором дров и ловлей рыбы.
1. Производительность и альтернативные издержки:
Сын:
- Сбор дров: быстрее деда в 2 раза.
- Рыбалка: втрое хуже отца.
- Время на сбор 1 ед. дров или ловлю 1 рыбы: одинаково. Назовем это время T.
Отец:
- Сбор дров: как дед.
- Рыбалка: втрое лучше сына.
- Время на сбор 1 ед. дров или ловлю 1 рыбы: T.
Дед:
- Сбор дров: медленнее сына в 2 раза.
- Рыбалка: как сын.
- Время на сбор 1 ед. дров или ловлю 1 рыбы: T.
2. Анализ производственных возможностей:
Для удобства возьмем T = 1 час.
Сын:
- Сбор дров: 1 ед. дров за 1 час.
- Рыбалка: 1/3 ед. рыбы за 1 час.
Отец:
- Сбор дров: 0.5 ед. дров за 1 час.
- Рыбалка: 1 ед. рыбы за 1 час.
Дед:
- Сбор дров: 0.5 ед. дров за 1 час.
- Рыбалка: 1/3 ед. рыбы за 1 час.
3. Распределение времени работы:
Каждый трудится по 9 часов. Итак, нам нужно определить, сколько часов должен уделить сбору дров дедушка при различных условиях.
а) Для приготовления 1 единицы рыбы требуется 1 единица дров:
Пусть ( R ) - количество рыбы, ( D ) - количество дров.
Условие: ( R = D ).
Производственные возможности (в часах):
- Сын: ( 9 = t{sD} + t{sR} )
- Отец: ( 9 = t{oD} + t{oR} )
- Дед: ( 9 = t{dD} + t{dR} )
( t{sD} ) и ( t{sR} ) - время сына на сбор дров и рыбалку соответственно.
( t{oD} ) и ( t{oR} ) - время отца на сбор дров и рыбалку соответственно.
( t{dD} ) и ( t{dR} ) - время деда на сбор дров и рыбалку соответственно.
Сын: ( t{sD} + \frac{1}{3} t{sR} = 9 )
Отец: ( 0.5 t{oD} + t{oR} = 9 )
Дед: ( 0.5 t{dD} + \frac{1}{3} t{dR} = 9 )
Чтобы найти ( R ) и ( D ):
- Сын: ( t{sD} = 9 - 3t{sR} )
- Отец: ( t{oR} = 9 - 0.5 t{oD} )
- Дед: ( t{dD} = 18 - 3 t{dR} )
Сумма времени на рыбалку:
( t{sR} + t{oR} + t{dR} = R )
Сумма времени на сбор дров:
( t{sD} + t{oD} + t{dD} = D )
Подставим ( R = D ):
( t{sD} + t{oD} + t{dD} = t{sR} + t{oR} + t{dR} )
Подставим выражения:
( (9 - 3t{sR}) + t{oD} + (18 - 3 t{dR}) = t{sR} + (9 - 0.5 t{oD}) + t{dR} )
Решим систему уравнений, чтобы найти долю времени деда на сбор дров.
б) Для приготовления 1 единицы рыбы нужно 0.5 условной единицы дров:
Условие: ( D = 0.5R ).
Производственные возможности (в часах):
- Сын: ( t{sD} + \frac{1}{3} t{sR} = 9 )
- Отец: ( 0.5 t{oD} + t{oR} = 9 )
- Дед: ( 0.5 t{dD} + \frac{1}{3} t{dR} = 9 )
Подставим ( D = 0.5R ):
( t{sD} + t{oD} + t{dD} = 0.5(t{sR} + t{oR} + t{dR}) )
Решим систему уравнений для определения доли времени деда на сбор дров.
в) Для приготовления 1 единицы рыбы нужно 0.8 единицы дров:
Условие: ( D = 0.8R ).
Производственные возможности (в часах):
- Сын: ( t{sD} + \frac{1}{3} t{sR} = 9 )
- Отец: ( 0.5 t{oD} + t{oR} = 9 )
- Дед: ( 0.5 t{dD} + \frac{1}{3} t{dR} = 9 )
Подставим ( D = 0.8R ):
( t{sD} + t{oD} + t{dD} = 0.8(t{sR} + t{oR} + t{dR}) )
Решим систему уравнений для определения доли времени деда на сбор дров.
Таким образом, для каждого случая мы определяем, сколько времени каждый должен уделять каждой деятельности, чтобы удовлетворить условия задачи.
