За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента номиналом 125.000 руб достигнет 140.000 руб...

По процентной ставке (8% годовых):

• Поквартально: через 3 квартала (1 год)
• Годовая: через 2 года

По учётной ставке (2% за квартал):

• Поквартально: через 7 кварталов (1.75 года)
• Годовая: через 3.5 года

Для решения данной задачи используем формулу сложных процентов:

( A = P \times (1 + r/n)^{nt} ),

где:

• A - конечная сумма (140.000 руб),
• P - начальная сумма (125.000 руб),
• r - процентная ставка (8% или 0,08),
• n - количество начислений процентов в году (1 для ежегодного начисления, 4 для квартального начисления),
• t - количество лет.

1. При ежегодном начислении процентов:

( 140.000 = 125.000 \times (1 + 0,08)^t ),

( 1,12^t = 1,12 ),

( t \approx 4,64 ).

Таким образом, наращенная стоимость достигнет 140.000 руб через примерно 4 года и 8 месяцев при ежегодном начислении процентов.

1. При квартальном начислении процентов:

( 140.000 = 125.000 \times (1 + 0,08/4)^{4t} ),

( 1,02^{4t} = 1,12 ),

( 4t \approx 3,69 ),

( t \approx 0,92 ).

Таким образом, наращенная стоимость достигнет 140.000 руб через примерно 0,92 года или 11 месяцев при квартальном начислении процентов.

Для расчета наращенной стоимости финансового инструмента с использованием сложных процентов, мы будем использовать две формулы: одну для сложных процентов, начисляемых ежегодно, и другую для начисления процентов поквартально. Также учтем различие между процентной и учетной ставками.

Процентная ставка

1. Ежегодное начисление по процентной ставке:

При ежегодном начислении сложных процентов используется формула:

[ A = P \times (1 + r)^t ]

где:

• ( A ) — наращенная стоимость (140,000 руб),
• ( P ) — начальный номинал (125,000 руб),
• ( r ) — годовая процентная ставка (0.08),
• ( t ) — количество лет.

Подставим известные значения и решим уравнение для ( t ):

[ 140,000 = 125,000 \times (1 + 0.08)^t ]

[ 1.12 = (1.08)^t ]

Применим логарифм:

[ \log(1.12) = t \times \log(1.08) ]

[ t = \frac{\log(1.12)}{\log(1.08)} ]

Вычислим:

[ t \approx \frac{0.0492}{0.0334} \approx 1.473 ]

Таким образом, срок составит примерно 1.473 года.

1. Поквартальное начисление по процентной ставке:

При поквартальном начислении сложных процентов используется формула:

[ A = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n \times t} ]

где:

• ( n ) — количество начислений в году (4 для кварталов).

[ 140,000 = 125,000 \times \left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4t} ]

[ 1.12 = \left(1.02\right)^{4t} ]

Применим логарифм:

[ \log(1.12) = 4t \times \log(1.02) ]

[ t = \frac{\log(1.12)}{4 \times \log(1.02)} ]

Вычислим:

[ t \approx \frac{0.0492}{0.0198} \approx 2.485 ]

То есть, срок составит примерно 2.485 года.

Учетная ставка

Учетная ставка используется для расчета дисконтирования, но мы можем адаптировать ее для расчета наращенной стоимости. Учетная ставка ( d ) связана с процентной ставкой ( r ) следующим образом:

[ r = \frac{d}{1-d} ]

Для преобразования учетной ставки в процентную:

[ d = \frac{0.08}{1 + 0.08} = \frac{0.08}{1.08} \approx 0.0741 ]

1. Ежегодное начисление по учетной ставке:

Используем формулу:

[ A = P \times \left(\frac{1}{1 - d}\right)^t ]

[ 140,000 = 125,000 \times \left(\frac{1}{0.9259}\right)^t ]

[ 1.12 = (1.08)^t ]

Применяем логарифм (поскольку результат такой же, как и для процентной ставки):

[ t \approx 1.473 ]

1. Поквартальное начисление по учетной ставке:

Адаптируем формулу для поквартальных начислений:

[ A = P \times \left(\frac{1}{1 - \frac{d}{4}}\right)^{4t} ]

[ 140,000 = 125,000 \times \left(\frac{1}{0.9815}\right)^{4t} ]

[ 1.12 = (1.0047)^{4t} ]

Применяем логарифм:

[ t = \frac{\log(1.12)}{4 \times \log(1.0047)} ]

Вычислим:

[ t \approx \frac{0.0492}{0.0187} \approx 2.63 ]

Таким образом, срок составит примерно 2.63 года поквартально по учетной ставке.

Итог

• Ежегодное начисление: примерно 1.473 года.
• Поквартальное начисление: примерно 2.485 года.
• Ежегодное начисление по учетной ставке: примерно 1.473 года.
• Поквартальное начисление по учетной ставке: примерно 2.63 года.